一般情况下，数论领域的猜想表述起来都比较精确直观。
比如已经被安德鲁·怀尔斯证明了的费马大定理，可以直接表示为：当整数n>2时，关于x，y，z的方程x^n+y^n=z^n没有正整数解。
又比如大名鼎鼎的哥德巴赫猜想，一句话就能看懂：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和。
但abc猜想却是个例外。
它理解起来非常抽象。
简单地说，就是有3个数：a、b和c=a+b，如果这3个数互质，没有大于1的公共因子，那么将这3个数不重复的质因子相乘得到的d，看似通常会比c大。
举个例子：a=2，b=7，c=a+b=9=3*3。
这3个数是互质的，那么不重复的因子相乘就有d=2*7*3=42>c=9。
大家还可以实验几组数，比如：3+7=10，4+11=15，也都满足这个看起来正确的规律。
但是，这只是看起来正确的规律，实际上存在反例！
由荷兰莱顿大学数学研究所运营的abc@的分布式计算平台分布式计算寻找abc猜想的反例，其中一个反例是3+125=128：其中125=5^3，128=2^7，那么不重复的质因子相乘就是3*5*2=30，128比30要大。
事实上，计算机能找到无穷多的这样反例。
于是我们可以这样表述abc猜想，d“通常”不比c“小太多”。
怎么叫通常不比c小太多呢？
如果我们把d稍微放大一点点，放大成d的（1+e次方），那么虽然还是不能保证大过c，但却足以让反例从无限个变成有限个。
这就是abc猜想的表述了。
abc猜想不但涉及加法（两个数之和），又包含乘法（质因子相乘），接着还模糊地带有点乘方（1+e次方），最坑爹的是还有反例存在。
因此，这个猜想的难度可想而知。
事实上，除了尚未解决的涉及多个数学分支的猜想界皇冠黎曼猜想以外，其他数论中的猜想，诸如哥德巴赫猜想、孪生素数猜想，以及已经解决的费马大定理，基本上都没有abc猜想重要。
这是为何呢？
首先，abc猜想对于数论研究者来说，是反直觉的。
历史上反直觉的却又被验证为正确的理论，数不胜数。
一旦反直觉的理论被证实是正确的，基本上都改变了科学发展的进程。
举一个简单的例子：牛顿力学的惯性定律，物体若不受外力就会保持目前的运动状态，这在17世纪无疑是一个重量级的思想炸弹。
物体不受力状态下当然会从运动变为停止，这是当时的普通人基于每天的经验得出的正常思想。
而实际上，这种想法，在任何一个于20世纪学习过初中物理、知道有种力叫摩擦力的人来看，都会显得过于幼稚。
但对于当时的人们来说，惯性定理的确是相当违反人类常识的！
abc猜想之于现在的数论研究者，就好比牛顿惯性定律之于十七世纪的普通人，更是违反数学上的常识。
这一常识就是：“a和b的质因子与它们之和的质因子，应该没有任何联系。”
原因之一就是，允许加法和乘法在代数上交互，会产生无限可能和不可解问题，比如关于丢番图方程统一方fǎ_lùn的希尔伯特第十问题，早就被证明是不可能的。
如果abc猜想被证明是正确的，那么加法、乘法和质数之间，一定存在人类已知数学理论从未触及过的神秘关联。
再者，abc猜想和其他很多数论中的未解问题有着重大联系。
比如刚才提到的丢番图方程问题、费马最后定理的推广猜想、mordell猜想、erd?s–wood猜想还能间接推导出很多已被证明的重要结果，比如费马最后定理。
从这个角度来讲，abc猜想是质数结构的未知宇宙的强力探测器，仅次于黎曼猜想。
一旦abc猜想被证明，对于数论的影响之巨大，无异于相对论和量子物理之于现代物理学。
正因为如此，2012年望月新一声称自己证明了abc猜想时，才会在数学界引起这么大的轰动。
望月新一1969年3月29日出生于日本东京，16岁进入美国普林斯顿大学就读本科，三年后进入研究生院，师从著名德国数学家，1986年菲尔茨奖得主法尔廷斯，23岁（即1992年）获得数学博士学位。
即使在向来严格和毒舌的法尔廷斯眼中，望月新一也堪称他的得意门生之一。
1992年，因为性格比较孤僻古怪，不适应美国文化，望月新一返回日本，担任京都大学数理解析研究所研究员。
期间，望月新一在“远阿贝尔几何”领域做出卓越贡献，并因此受邀在1998年的柏林国际数学家大会上发表一小时的演讲。
1998年之后，望月新一开始将所有精力都投入到abc猜想的证明中去，几乎在数学界销声匿迹。
一直到2012年，望月新一发表512页的abc猜想证明论文，才再次引发数学界大规模关注。
从某种程度上说，望月新一与佩雷尔曼有点类似，只是佩雷尔曼成功地证明了庞加莱猜想，而望月新一的abc猜想证明，却并没有得到数学界的认可。
望月新一研究abc猜想的理论工具，便是远阿贝尔几何。
因此，在研究望月新一abc猜想论文之前，庞学林还让田牧找来了望月新一关于远阿贝尔几何的相关著作。
远阿贝尔几何由代数几何教皇格罗滕迪克于二十世纪八十年代创建，是数学界一门非常年轻的